Question

已知雙曲線C的中心在原點O，拋物線y²=2x的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線過點(1，)．

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)設直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點，試問：

(1)k為何值時⊥．

(2)是否存在實數k，m使A、B兩點關于直線y=mx對稱，若存在，求出k，m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意設雙曲線方程為=1，把(1，)代入得=1(*)

又y²=2x的焦點是(，0)，故雙曲線的c²=a²+b²=

與(*)聯立，消去b²可得4a⁴-21a²+5=0，

(4a²-1)(a²-5)=0．

∴a²=,a²=5(不合題意舍去) 

于是b²=1,∴雙曲線方程為4x²-y²=1 

(Ⅱ)由消去y得(4-k²)x²-2kx-2=0(*)，

當△＞0，即-2＜k＜2(k≠±2)時，l與C有兩個交點A、B

(1)設A（x₁,y₁),B(x₂,y₂),因,故=0即x₁x₂+y₁y₂=0，由(*)知x₁+x₂=,x₁x₂=，代入可得+1=0

化簡得k²=2

∴k=±，檢驗符合條件，故當k=±時，

(2)法一：若存在實數k，m滿足條件，則必須

由(2)，(3)得m(x₁+x₂)=k(x₁+x₂)+2   (4) 

把x₁+x₂=代入(4)得mk=4

這與(1)的mk=-1矛盾，故不存在實數k，m滿足條件．

法二：假設存在實數k、m，則mk=-1

設A、B中點為P(x₀，y₀)則y₀=mx₀

由得:

∴k=即mk=4這與mk=-1矛盾

∴不存在實數k、m，滿足條件．