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如圖2-6-14,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AB交⊙O于D,且過圓心O,AC交⊙O于E,CF交⊙O于D.

求證:AD²=AC·AE-DF·CD.

圖2-6-14

證明:連結AF、DE,

∵AD為直徑,∴∠AED=90°,∠AFD=90°.

∴∠CED=90°.∵∠CBD=90°,

∴B、C、E、D四點共圓.

∴AE·AC=AD·AB.

又A、F、B、C四點共圓,

∴AD·BD=DF·CD.

∴AC·AE-DF·CD=AD·AB-AD·BD=AD(AB-BD)=AD².

∴AD²=AC·AE-DF·CD.

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