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中心在原點，焦點在x軸上的一個橢圓與一個雙曲線有共同的焦點F1，F2，|F1F2|=2
13
，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3：7，
（1）求這兩曲線方程；
（2）若P為兩曲線的交點（P在第一象限），求
PF1
•
PF2
的值．
（1）由題意知，半焦距c=
13
，設橢圓長半軸為a，則雙曲線實半軸 a-4，
離心率之比為
3
7
=
13
a
13
a-4
，
∴a=7，
∴橢圓的短半軸等于
49-13
=6，雙曲線虛半軸的長為
13-9
=2，
∴橢圓和雙曲線的方程分別為：
x2
49
+
y2
36
=1和
x2
9
-
y2
4
=1．
（2）由橢圓的定義得：PF1 +PF2=2a=14，
由雙曲線的定義得：PF1-PF2=6，
∴PF1=10，PF2=4，
又F1F2=2
13
，三角形F1PF2中，利用余弦定理得：(2
13
)2=100+16-80cos∠F1PF2，
∴cos∠F1PF2=
4
5
．
則
PF1
•
PF2
=|
PF1
|•|
PF2
|cos∠F1PF2=10×4×
4
5
=32．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓w的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為
6
3
，△ABC的頂點A，B在橢圓w上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求橢圓w的方程；
（2）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（3）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，函數y=f（x）的圖象是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓的兩段弧，則不等式f（x）＜f（-x）+x的解集為（　　）
A、{x|-
2
＜x＜0或
2
＜x≤2}
B、{x|-2≤x＜-
2
或
2
＜x≤2}
C、{x|-2≤x＜-
2
2
或
2
2
＜x≤2}
D、{x|-
2
＜x＜
2
，且x≠0}

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，函數y=f（x）的圖象是中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的兩段弧，則不等式f（x）＜f（-x）+x的解集為（　　）
A、{
2
2
＜x≤2或
2
2
＜x≤2}
B、{x|-2≤x＜
2
或
2
＜x≤2}
C、{x|-
2
＜x＜0或
2
＜x≤2}
D、{x|-
2
＜x＜
2
，且x≠0}

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科目：高中數學 來源：2010-2011年山西省孝義市高二第二次月考考試數學文卷 題型：解答題

（12分）

    已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等于12，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓左頂點作直線l垂直于x軸，若動點M到橢圓右焦點的距離比它到直線l的距離小4，求點M的軌跡方程.

 

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科目：高中數學 來源：東城區模擬 題型：解答題

已知橢圓w的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為
6
3
，△ABC的頂點A，B在橢圓w上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求橢圓w的方程；
（2）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（3）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

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