Question

設x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x（a＞0）的兩個極值點，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）判定函數f（x）在區間（x₁，x₂）上的單調性；
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數和極值，單調性之間的關系，確定函數的單調性．
（2）利用二次函數的圖象和性質求a的取值范圍．

解答：解：（1）由已知f'（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂（x₁＜x₂）是f（x）的兩個極值點．
∴x₁，x₂是f'（x）=0的兩個根．
即f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）（a＞0）（2分）
列表如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由上表可知f（x）在區間（x₁，x₂）上單調遞減（6分）
（2）∵x1，x2是f′(x)=ax2+bx-a2的兩個根，
∴

x1+x2=- b a x1x2=-a

，
∵a＞0，∴x₁x₂＜0，
又x₁＜x₂，∴x₁＜0＜x₂
∵|x₁|+|x₂|=2，
∴-x1+x2=2⇒(x1+x2)2-4x1x2=4（10分）
∴

b2

a2

+4a=4，∴b²=4a²（1-a）≥0
而a＞0，∴0＜a≤1（12分）

點評：本題主要考查導數和函數單調性，極值之間的關系，要求熟練掌握利用導數研究函數的性質．