Question

安通駕校擬圍著一座山修建一條環形訓練道路OASBCD，道路的平面圖如圖所示（單位：km），已知曲線ASB為函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜1，|φ|＜

π

2

），x∈[0，3]的圖象，且最高點為S（1，2），折線段AOD為固定線路，其中AO=

3

，OD=4，折線段BCD為可變線路，但為保證駕駛安全，限定∠BCD=120°．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）應如何設計，才能使折線段道路BCD最長？

Answer 1

分析：（1）根據最高點S的縱坐標確定出A的值，將A坐標代入求出sinφ的值，確定出φ的度數，將S坐標代入求出ω的值；
（2）將B的橫坐標代入函數解析式求出縱坐標，確定出BD的長，在三角形BCD中，利用正弦定理列出關系式，表示出CD與BC，進而表示出BC+CD，整理為一個角的正弦函數，根據正弦函數的定義域與值域求出折線BCD的最大值，以及此時θ的值．

解答：解：（1）由已知最高點S（1，2），得到A=2，
且有2sinφ=

3

，即sinφ=

3

2

，
∵|?|＜

π

2

，∴φ=

π

3

，
又∵最高點為（1，2），
∴2sin（ω+

π

3

）=2，
解得：ω=

π

6

，
∴y=2sin（

π

6

x+

π

3

）；
（2）∵B點的橫坐標為3，代入函數解析式得y_B=2sin（

π

6

×3+

π

3

）=1，
∴BD=

12+(4-3)2

=

2

，
在△BCD中，設∠CBD=θ，則∠BDC=180°-120°-θ=60°-θ．
由正弦定理有

BD

sin120°

=

CD

sinθ

=

BC

sin(60°-θ)

，
∴CD=

2 6

3

sinθ，BC=

2 6

3

sin（60°-θ），
∴BC+CD=

2 6

3

[sinθ+sin（60°-θ）]=

2 6

3

[sinθ+

3

2

cosθ-

1

2

sinθ]=

2 6

3

sin（θ+

π

3

），
∴當且僅當θ=

π

6

時，折線段BCD最長，最長為

2 6

3

千米．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．