Question

8．已知函數f（x）=x³-ax在x=1處取得極小值，其中a是實數．
（1）求實數a的值；
（2）用反證法證明：當x＞0時，$-\frac{2f（x）}{x^2}$，$\frac{f'（x）}{x}$中至少有一個不小于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據f′（1）=0，求出a的值即可；
（2）假設$-\frac{2f（x）}{x^2}$，$\frac{f'（x）}{x}$都小于$\sqrt{3}$，得到關于x的不等式組，得出矛盾，證出結論即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-ax，
∴f'（x）=3x²-a，…（2分）
∵函數f（x）=x³-ax在x=1處取得極小值，
∴f'（1）=0，…（5分）
即3-a=0，
∴a=3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　            　　  …（7分）
證明：（2）假設$-\frac{2f（x）}{x^2}$，$\frac{f'（x）}{x}$都小于$\sqrt{3}$
即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{2f（x）}{x^2}＜\sqrt{3}}\\{\frac{f'（x）}{x}＜\sqrt{3}}\end{array}}\right.$…（9分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-2x+\frac{6}{x}＜\sqrt{3}}\\{3x-\frac{3}{x}＜\sqrt{3}}\end{array}}\right.$
∴$（-2x+\frac{6}{x}）+（3x-\frac{3}{x}）＜2\sqrt{3}$，…（11分）
即$x+\frac{3}{x}＜2\sqrt{3}$，
當x＞0時，$x+\frac{3}{x}≥2\sqrt{x•\frac{3}{x}}=2\sqrt{3}$，當且僅當$x=\frac{3}{x}$，即$x=\sqrt{3}$時等號成立，
∴假設不成立，
∴$-\frac{2f（x）}{x^2}$，$\frac{f'（x）}{x}$中至少有一個不小于$\sqrt{3}$…（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及反證法的應用，是一道中檔題．