Question

16．設命題p：?x∈R，都有ax²＞-ax-1（a≠0）恒成立；命題q：圓x²+y²=a²與圓（x+3）²+（y-4）²=4外離．如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真時實數a的取值范圍．再由命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，p，q一真一假，可得實數a的取值范圍．

解答 解：p：不等式ax²+ax+1＞0（a≠0）對x∈R恒成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}}\right.$
∴0＜a＜4．…（3分）
q：設兩個圓的圓心距為d．
∴$d=\sqrt{{{（-3）}^2}+{4^2}}=5$．
∵兩圓外離，
∴d＞|a|+2，
∴|a|＜3，
∴-3＜a＜3．…（6分）
∵命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，
∴p，q一真一假．…（8分）
①p真q假時，$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜4}\\{a≤-3或a≥3}\end{array}}\right.$，
∴3≤a＜4…（10分）
②p假q真時，$\left\{{\begin{array}{l}{a≤0或a≥4}\\{-3＜a＜3}\end{array}}\right.$，
∴-3＜a≤0．…（12分）
綜上所述，實數a的取值范圍為（-3，0]∪[3，4）．…（14分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，二次函數的圖象和性質，圓和圓的位置關系，難度中檔．