Question

設數列{a_n}滿足：Sn=

an2

4

+n，a_n＞0．
（1）求{a_n}的表達式；
（2）將數列{a_n}依次按1項，2項，3項循環地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），
…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₂₀₁₀的值；
（3）如果將數列{a_n}依次按1項，2項，3項，…，m（m≥3）項循環；分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

Answer 1

分析：（1）由：Sn=

an2

4

+n，可用a_n與S_n的關系求解；
（2）先由數列{a_n}將（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），轉化為（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），按照每一次循環記為一組．由于每一個循環含有3個括號的規律抽象出b₃，b₆，b₈，，b₂₀₁₀，組成一個首項為b₃，公差為36的等差數列．
（3）由“提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例）”即研究：當n是m的整數倍時，求b_n．按照（2）的思路解決．

解答：解：（1）當n=1時，S1=

a12

4

+1，a12-4a1+4=0，解得a₁=2，
當n≥2時，a n=S n-Sn-1=(

an2

4

+n)-(

an-12

4

+n-1)，整理得（a_n+a_n-1-2）（a_n-a_n-1-2）=0，
所以a_n-a_n-1=2，或a_n+a_n-1=2（不合題意，舍去，否則a_2n=0與已知矛盾），
∴數列{a_n}是等差數列，且公差為2，首項a₁=2，從而a_n=2n．（5分）
（2）數列{a_n}依次按1項，2項，3項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），，每一次循環記為一組．由于每一個循環含有3個括號，故b₂₀₀₉是第670組中第2個括號內各數之和．
由分組規律知，b₃，b₆，b₈，，b₂₀₁₀，組成一個首項為b₃=8+10+12=30，公差為d=36的等差數列．所以b₂₀₁₀=30+（670-1）×36=24114．（10分）
（3）當n是m的整數倍時，求b_n的值．
數列{a_n}依次按1項、2項、3項，，m項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），，（m²-m+2，m²-m+4，m²-m+6，，m²+m）；（m²+m+2）（m²+m+4，m²+m+6），，（2m²+2，2m²+4，，2m²+2m），（2m²+2m+2），
第m組，第2m組，，第km（k∈N^*）組的第1個數，第2個數，，第m個數分別組成一個等差數列，其首項分別為m²-m+2，m²-m+4，m²-m+6，，m²+m公差均為m（m+1）
則第m組、第2m組，，第km組，的各數之和也組成一個等差數列，其公差為m²（m+1）
第m組的m個數之和為

m[(m2-m+2)+(m2+m)]

2

=m3+m
∴當n=km時，b_n=b_km=m³+m+（k-1）m²（m+1）．（16分）

點評：本題考查通項和前n項和之間的關系，由數列構造新數列和轉化數列的能力．