Question

一套三色卡片共有32張，紅、黃、藍各10張，編號為1，2，…，10，另有大、小王各一張，編號均為0．從這些卡片中任取若干張，按如下規則計算分值：每張編號為k的計為2^k分，若它們的分值之和為1921，則稱這些卡片為一個“好牌組”．
（Ⅰ）若任取3張卡片，試判斷是否存在“好牌組”．
（Ⅱ）若存在“好牌組”，問至少取幾張卡片，并求卡片取法數．

Answer 1

（1）由題設知：方程2^x+2^y+2^z=1921，
x，y，z∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
不妨設 x最大，當x=10時，y，z中有一個為10，則2^x+2^y+2^z大于2024，不能成立，
若當x=10時且y，z中有兩個取9，則2^x+2^y+2^z大于2024，
若y，z之中有一個取9，另一個小于9，則2^x+2^y+2^z小于1792．
故x=10時，不存在；當x=9時，2^x+2^y+2^z的最大值為1536，
故不存在取三個卡片的好牌組．…（5分）
（2）同（1）分析，取4張卡片，不存在好牌組．…（7分）
由于210+29+28 +27+20=1921，…（9分）
同（1）的分析，且只有這一組，
故至少取5張卡片存在好牌組，
故共有3×3×3×3×2=162種取法．…（13分）