Question

在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點,且滿足=== (如圖(1)),將△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,連接B、P(如圖(2)).

(1)求證: E⊥平面BEP;
(2)求直線E與平面BP所成角的大小.

Answer 1

(1)見解析；(2)直線E與平面BP所成角的大小為.

試題分析：(1)為計算上的便利，不妨設正三角形ABC的邊長為3,

利用已知條件首先得到△ADF是正三角形.再推出EF⊥AD,∠EB為二面角EFB的平面角,根據二面角EFB為直二面角,得到E⊥BE.
又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.
(2)建立空間直角坐標系,利用“空間向量方法”求角.
試題解析： (1)不妨設正三角形ABC的邊長為3,

則在圖(1)中,取BE的中點D,連接DF,
∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,
則△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,
∴在圖(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB為二面角EFB的平面角,
∵二面角EFB為直二面角,∴E⊥BE.
又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.
(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則E(0,0,0),  (0,0,1),B(2,0,0).連接DP,由(1)知EF