Question

【題目】已知定義在R上的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=﹣x2+2x
（1）求函數f（x）在R上的解析式；
（2）若函數f（x）在區間[﹣1，a﹣2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＜0，則﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．

又f（x）為奇函數，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．

于是x＜0時f（x）=x2+2x．

所以f（x）= ．

（2）解：作出函數f（x）= 的圖象如圖：

則由圖象可知函數的單調遞增區間為[﹣1，1]

要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上單調遞增，

結合f（x）的圖象知 ，

所以1＜a≤3，故實數a的取值范圍是（1，3]．

【解析】（1）根據函數奇偶性的對稱性，即可求函數f（x）在R上的解析式；（2）根據函數奇偶性和單調性的關系，利用數形結合即可求出a的取值范圍．