Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點分別是F₁（0，-1），F(xiàn)₂（0，1），3a²=4b²：
（Ⅰ）求橢圓的方程；  
（Ⅱ）設點P在這個橢圓上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓幾何量之間的關系，結(jié)合3a²=4b²，求出幾何量，即可求橢圓的方程；  
（Ⅱ）利用橢圓的定義，結(jié)合|PF₁|-|PF₂|=1，及余弦定理，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由已知c=1，則a²-b²=1，又3a²=4b²，故a²=4，b²=3，
∴所求橢圓方程為：

x2

3

+

y2

4

=1
（Ⅱ）由橢圓定義可得|PF₁|+|PF₂|=4，
∵|PF₁|-|PF₂|=1，∴|PF₁|=

5

2

，|PF₂|=

3

2

，
∵|F₁F₂|=2，
∴cos∠F₁PF₂=

25 4 + 9 4 -4

2× 5 2 × 3 2

=

3

5

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的定義，考查余弦定理的運用，屬于中檔題．