Question

如圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．
已知A₁B₁=B₁C₁=2，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（I）設點O是AB的中點，證明：OC平面A₁B₁C₁；
（II）求此幾何體的體積；
（Ⅲ）點F為AA₁上一點，若BF⊥平面COB₁，求AF的長．

Answer 1

（I）證明：作ODAA₁交A₁B₁于D，連C₁D，則ODBB₁CC₁．
∵O是AB的中點，∴OD==CC₁．
∴ODC₁C是平行四邊形，
∴OCC₁D．
∵C₁D平面A₁B₁C₁且OC平面A₁B₁C₁，
∴OC面A₁B₁C₁．
（II）以同樣大的幾何體，進行補形，可得一直三棱柱，底面為△A₁B₁C₁，高為6
∴所求幾何體體積為V=
（Ⅲ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則B₁（0，0，0），B（0，0，2），
C（0，2，3），設F（2，0，m），
則，
若BF⊥平面COB₁，則BF⊥B₁C，
∴m=2
∴AF=2