Question

如圖所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分別為的中點，O₁，O₁′，O₂，O₂′分別為CD，C′D′，DE，D′E′的中點．
（1）證明：O₁′，A′，O₂，B四點共面；
（2）設G為A A′中點，延長A′O₁′到H′，使得O₁′H′=A′O₁′．證明：BO₂′⊥平面H′B′G

Answer 1

證明：（1）∵B′，B分別是中點
∴BO₂∥B^′O₂^′
∵^{A′O₁′與B′O₂′}在未平移時屬于同一條直徑
∴A^′O₁^′∥B^′O₂^′
∴BO₂∥A^′O₁^′
∵BO₂=A′O₁′=1
∴四邊形BO₂A^′O₁^′是平行四邊形
即O₁′，A′，O₂，B四點共面



（2）以D為原點，以向量DE所在的直線為X軸，以向量DD′所在的直線為Z軸，建立如圖空間直角坐標系，
則B（1，1，0），O₂′（0，1，2），H′（1，-1，2），A（-1，-1，0），G（-1，-1，1），B′（1，1，2）
則=（-1，0，2），=（-2，-2，-1），=（0，-2，0）
∵•=0，=0
∴BO₂′⊥B′G，BO₂′⊥B′H′
即，
∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G?面H′GB′
∴BO₂′⊥平面H′B′G
分析：（1）要證O₁′，A′，O₂，B四點共面，即可證四邊形BO₂A^′O₁^′為平面圖形，根據A′O₁′與B′O₂′在未平移時屬于同一條直徑
知道A^′O₁^′∥B^′O₂^′即BO₂∥A^′O₁^′再根據BO₂=A′O₁′=1即可得到四邊形BO₂A^′O₁^′是平行四邊形，則證．
（2）建立空間直角坐標系，要證BO₂′⊥平面H′B′G只需證，，根據坐標運算算出•，的值均為0即可
點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，棱柱的結構特征，平面的基本性質及推論以及空間向量的基本知識，屬于中檔題．