Question

已知數列{a}中,a=2,前n項和為S,且S=.

(1)證明數列{a_n+1-a_n}是等差數列,并求出數列{a_n}的通項公式

(2)設b_n=,數列{b_n}的前n項和為T_n,求使不等式T_n>

對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值

Answer 1

(1) a_n=n(n∈N^*)   (2) k的最大值為18

解析:

(1)由題意,當n=1時,a₁=S₁=,則a₁=1,

a₂=2,則a₂-a₁=1,

當n≥2時,a_n=S_n-S_n-1=-=[na_n-(n-1)a_n-1+1]

a_n+1=[(n+1)a_n+1-na_n+1]      

則a_n+1-a_n=[(n+1)a_n+1-2na_n+(n-1)a_n-1],

即(n-1)a_n+1-2(n-1)a_n+(n-1)a_n-1=0,

即a_n+1-2a_n+a_n-1=0,   即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1

則數列{a_n+1-a_n}是首項為1,公差為0的等差數列.

從而a_n-a_n-1=1,,則數列{a_n}是首項為1,公差為1的等差數列,

所以,a_n=n(n∈N^*)                 

(2)b_n===(- )

所以,T_n=b₁+b₂+…+b_n=[(1-)+(-)+…+(-)]

=(1-)=                   

由于T_n+1-T_n=-=>0,

因此T_n單調遞增,故T_n的最小值為T₁=

令>,得k<19,所k的最大值為18