Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=0且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，S_n是數列{a_n}的前n項和．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=-na_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于數列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=0，則可求出等比數列的公比，再利用a₃+2是a₂，a₄的等差中項，列式求出首項，則等比數列的通項公式可求；
（2）由（1）可求出b_n，再由數列求和的錯位相減法即可求出S_n，進而可得使Sn+n•2n+1＞50成立的正整數n的最小值．

解答：解：（1）∵a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴數列{a_n}是以2為公比的等比數列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴a₂+a₄=2a₃+4，則2a₁+8a₁=8a₁+4，即a₁=2，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴-n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
②-①得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，n＞5
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數n的最小值為5．

點評：本題考查等差數列和等比數列的通項公式，考查了數列的遞推式，解答的關鍵是想到錯位相減，是中檔題．