Question

設函數f（x）=x²-2|x|-3（-3≤x≤3），
（1）證明函數f（x）是偶函數；
（2）用分段函數表示f（x）并作出其圖象；
（3）指出函數f（x）的單調區間及相應的單調性；
（4）求函數的值域．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義，我們先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，然后再判斷f（-x）與f（x）的關系，若f（-x）與f（x）相等則函數f（x）是偶函數；
（2）由于函數的解析式中，含有絕對值符合，我們可以用零點分段法，即分0≤x≤3主-3≤x＜0兩種情況，進行分類討論，易得函數的解析式，然后根據分段函數的圖象分段畫的原則，易得到函數的圖象．
（3）由函數圖象，根據圖象上升，函數遞增，圖象下降，函數遞減的原則，確定函數的單調區間；
（4）由函數圖象，易得到函數最高點，最低點坐標，進而得到函數的值域．

解答：解：（1）∵-3≤x≤3，
∴函數的定義域關于原點對稱，
又∵f（-x）=（-x）²-2|-x|-3=x²-2|x|-3=f（x）
∴函數f（x）是偶函數．
（2）f（x）=

x2-2x-3，0≤x≤3 x2+2x-3，-3≤x＜0

；
（3）由（2）中圖象可得：
函數f（x）的單調增區間是[-1，0]，[1，3]；
函數f（x）的單調減區間是[-3，-1]，[0，1]．
（4）由（2）中圖象可得：
函數的值域是[-4，0]．

點評：本題考查的知識點是函數的圖象，函數的單調性及單調區間，及函數的奇偶性的判斷，利用零點分段法將函數的解析式化為分段函數，并畫出函數的圖象是解答本題的關鍵．