Question

（滿分12分）如右圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁=AB，D是AC的中點。

（Ⅰ）求證：B₁C//平面A₁BD；

（Ⅰ）求二面角A—A₁B—D的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

(1)連交于點，連.

由是的中點，是的中點，得到，推出∥平面.

(2) .

【解析】

試題分析：(1)證明：連交于點，連.

則是的中點，

∵是的中點，∴

∵平面，平面，∴∥平面.

(2)法一：設,∵,∴,且，

作，連

∵平面⊥平面，∴平面，

∴∴就是二面角的平面角，

在中，，

在中，

，即二面角的余弦值是.…………12分

解法二：如圖，建立空間直角坐標系.

則，，，.

∴，，， 

設平面的法向量是，則

由，取

設平面的法向量是，則

由，取

記二面角的大小是，則，

即二面角的余弦值是.

考點：本題主要考查立體幾何中的平行關系，角的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，應用空間向量，使問題解答得以簡化。本解答提供了兩種解法，相互對比，各有優點。