Question

已知f(x)=(x

1

k

+x)n，且正整數n滿足C_n³=C_n⁵，A={0，1，2，…n}
（1）求n；
（2）若i、j∈A，是否存在j，當i≥j時，C_nⁱ≤C_n^j恒成立．若存在，求出最小的j；若不存在，試說明理由．
（3）k∈A，若f（x）的展開式有且只有三個有理項，求k．

Answer 1

分析：（1）根據題意，結合二項式系數的性質C_n^m=C_n^n-m，易得答案；
（2）由（1）的結論，n=8，結合二項式系數的性質，可得其二項式系數中最大的為C₈⁴，由題意，可得i≥j≥4，即可得答案；
（3）寫出）f(x)=(x

1

k

+x)8展開式通項，依題意，只須8-r是k的整數倍的r有且只有三個，分別令k=1，2，3…8，代入通項中，檢驗可得答案．

解答：解：（1）根據題意中C_n³=C_n⁵，結合C_n^m=C_n^n-m，
則n=8
（2）由（1）的結論，n=8，
當n=8時，C₈^m（m=0、1、2…、8）中，C₈⁴最大，
即i≥j≥4時，滿足C_nⁱ≤C_n^j恒成立，
則最小的j=4；
（3）f(x)=(x

1

k

+x)8展開式通項為Tr+1=

C

r 8

(x

1

k

)8-r•xr=

C

r 8

x

8-r

k

+r
依題意，只須8-r是k的整數倍的r有且只有三個，
分別令k=1，2，3…8，代入通項中，
檢驗得k=3或4；
故k=3或4．

點評：本題考查二項式定理的應用，關鍵要靈活應用二項式系數的性質．