Question

已知等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q（q≠1），若i，j，k∈N⁺且1≤i＜j＜k≤n（n≥3），則a_ia_ja_k不同的值共有

3n-8

種．

Answer 1

分析：由等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，利用等比數列的通項公式化簡所求的式子a_ia_ja_k，因為首項和公比的值確定，a_ia_ja_k取不同值的個數由指數i+j+k來確定，即i+j+k表示整數的個數即為a_ia_ja_k不同的值的個數，由已知i，j及k的取值及范圍，得到最大為n-2+n-1+n，最小為1+2+3，求出最小與最大間整數的個數即可求出a_ia_ja_k不同的值的個數．

解答：解：∵a_ia_ja_k=a₁q^i+j+k-3，
∴a_ia_ja_k不同的值的個數由取決于i+j+k的取值個數，
又i，j，k∈N⁺且1≤i＜j＜k≤n（n≥3），
∴i+j+k的最大值為（n-2）+（n-1）+n，最小值為1+2+3，
而這個范圍之間共有[（n-2）+（n-1）+n]-（1+2+3）+1=3n-8個整數，
則a_ia_ja_k不同的值共有3n-8種．
故答案為：3n-8

點評：此題考查了等比數列的通項公式，利用了轉化的思想，熟練掌握通項公式，歸納出序號的和不同則三項的乘積不同是解本題的關鍵，本題計數時易遺漏一個，最大數減最小數再加1者所有數的個數．