Question

【題目】如圖，在四邊形 中， ， ， ， ， ， 是 上的點， ， 為 的中點，將 沿 折起到 的位置，使得 ，如圖2.

（1）求證：平面平面 ；

（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）．

【解析】試題分析：(1)由四邊形為菱形，且為等邊三角形得，結合勾股定理得，利用判定定理證明(2) 建立空間直角坐標系，求平面的法向量和平面的法向量，利用公式求得結果

解析：（1）連結．

在四邊形中，，，，，，，

∴，，

四邊形為菱形，且為等邊三角形．

又∵為的中點，∴.

∵，，，滿足，

∴，

又∵，∴平面.

∵平面，∴平面 平面．

（2）以為原點，向量的方向分別為軸、軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），

則 ，，，

所以，，

設是平面的一個法向量，

則即

取，得．

取平面的一個法向量．

∵，

又二面角的平面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為．