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已知函數f(x)=ax3+bx2的圖象經過點M(1,4),曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直.
(1)求實數a,b的值;
(2)若函數f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調遞增,求m的取值范圍.
【答案】分析:(1)將M的坐標代入f(x)的解析式,得到關于a,b的一個等式;求出導函數,求出f′(1)即切線的斜率,利用垂直的兩直線的斜率之積為-1,列出關于a,b的另一個等式,解方程組,求出a,b的值.
(2)求出 f′(x),令f′(x)>0,求出函數的單調遞增區(qū)間,據題意知[m,m+1]⊆(-∝,-2]∪[0,+∝),列出端點的大小,求出m的范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=ax3+bx2的圖象經過點M(1,4),∴a+b=4①式 …(1分)
f'(x)=3ax2+2bx,則f'(1)=3a+2b…(3分)
由條件②式…(5分)
由①②式解得a=1,b=3
(2)f(x)=x3+3x2,f'(x)=3x2+6x,
令f'(x)=3x2+6x≥0得x≥0或x≤-2,…(8分)
∵函數f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調遞增
∴[m,m+1]⊆(-∝,-2]∪[0,+∝)
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3
點評:注意函數在切點處的導數值是曲線的切線斜率;直線垂直的充要條件是斜率之積為-1.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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