Question

如圖，已知拋物線x²=4y，過拋物線上一點A（x₁，y₁）（不同于頂點）作拋物線的切線l，并交x軸于點C，在直線y=-1上任取一點H，過H作HD垂直x軸于D，并交l于點E，過H作直線HF垂直直線l，并交x軸于點F．
（I）求證：|OC|=|DF|；
（II）試判斷直線EF與拋物線的位置關系并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用導數的幾何意義，求出過拋物線上一點A（x₁，y₁）（不同于頂點）作拋物線的切線l的方程，令y=0即可得C點的坐標，再由HF垂直直線l，寫出直線HF的方程，令y=0即可得F點的坐標，從而可證|OC|=|DF|
（II）先求出E點的坐標，由（I）知F的坐標，從而寫出直線EF的方程，再與拋物線x²=4y聯立，證明△=0，即可證明直線EF與拋物線的位置關系為相切
解答：解：（I）∵∴∴
∴
∴
設H（a，-1）∴D（a，0）∴
∴
（II）∵，
∴
∴
由

∴直線EF與拋物線相切．
點評：本題考察了直線與拋物線的位置關系，特別注意當直線與拋物線相切時，可利用導數的幾何意義，也可聯立通過判別式△解決問題