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已知橢圓的左焦點為F,左右頂點分別為A,C上頂點為B,過F,B,C三點作⊙P,其中圓心P的坐標(biāo)為(m,n).
(1)若橢圓的離心率,求⊙P的方程;
(2)若⊙P的圓心在直線x+y=0上,求橢圓的方程.
【答案】分析:(1)根據(jù)橢圓的離心率和長半軸求得半焦距c,進而求得b,進而可求得B,F(xiàn),C的坐標(biāo),設(shè)出圓P的方程,把三點坐標(biāo)代入后聯(lián)立求得m,n和r,則所求圓的方程可得.
(2))根據(jù)⊙P過點F,B,C三點,可推斷出圓心P既在FC的垂直平分線上,也在BC的垂直平分線上,進而根據(jù)題意表示出FC和BC的垂直平分線方程聯(lián)立后求得交點即圓心的坐標(biāo)表達式,代入直線方程x+y=0求得b,則橢圓的方程可得.
解答:解:(1)當(dāng)時,∵a=1,∴
,b=,
,,C(1,0)
設(shè)⊙P的方程為(x-m)2+(y-n)2=r2
由⊙P過點F,B,C得
②(1-m)2+n2=r2
由①②③聯(lián)立解得:-
∴所求的⊙P的方程為
(2)∵⊙P過點F,B,C三點,
∴圓心P既在FC的垂直平分線上,
也在BC的垂直平分線上,F(xiàn)C的垂直平分線方程為
∵BC的中點為,kBC=-b
∴BC的垂直平分線方程為
由④⑤得,即
∵P(m,n)在直線x+y=0上,∴⇒(1+b)(b-c)=0
∵1+b>0∴b=c,由b2=1-c2
∴橢圓的方程為x2+2y2=1
點評:本題主要考查了橢圓的基本性質(zhì),橢圓與圓和直線的位置關(guān)系.考查了學(xué)生綜合運用基礎(chǔ)知識的能力和分析推理的能力.屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分)  已知橢圓的左焦點為F,O為坐標(biāo)原點。

       (I)求過點O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程;

       (II)設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與軸交于點G,求點G橫坐標(biāo)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006年福建省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓的左焦點為F,O為坐標(biāo)原點.
(I)求過點O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程;
(II)設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點,并且線段AB的中點在直線x+y=0上,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年甘肅省高三第三次模擬考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓的左焦點為F,過點F的直線交橢圓于A、B兩點,線段AB的中點為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點.

(Ⅰ)若點G的橫坐標(biāo)為,求直線AB的斜率;

(Ⅱ)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點)的面積為S2

試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇南通市通州區(qū)2010高三查漏補缺專項練習(xí)數(shù)學(xué)理 題型:解答題

(本小題滿分15分)已知橢圓的左焦點為F,左右頂點分別為A、C,

上頂點為B,過F,B,C三點作,其中圓心P的坐標(biāo)為

(1) 若橢圓的離心率,求的方程;

(2)若的圓心在直線上,求橢圓的方程.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年黑龍江省高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型:填空題

已知橢圓的左焦點為F,右頂點為A,點B在橢圓上,且軸,直線AB交軸于點P。若,則橢圓的離心率為     

 

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