Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F(0，

p

2

)，準線為l，點P（x₀，y₀）（y₀＞p）為拋物線C上的一點，且△FOP的外接圓圓心到準線的距離為

3

2

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若圓F的方程為x²+（y-1）²=1，過點P作圓F的2條切線分別交x軸于點M，N，求△PMN面積的最小值及此事y₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得出圓心的縱坐標為

p

4

，由圓心到準線的距離等于

3

2

求出p的值，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）設出過P點的切線方程，由圓心F到切線的距離等于1整理得到關于切線斜率k的一元二次方程，方程的兩個根為兩條切線的斜率，由根與系數關系得到兩根的和與積（用P點的坐標表示），單獨寫出兩切線的方程，求出M和N的坐標，由數軸上的兩點間的距離公式寫出M、N的距離，把根與系數關系代入后化為P點縱坐標的表達式，則三角形PMN的面積化為了關于P點縱坐標的函數關系式，通過求導得到面積的最小值．

解答：解：（I）△FOP的外接圓的圓心在線段OF，FP的中垂線的交點上，且線段OF的中垂線為直線y=

p

4

，
則圓心的縱坐標為

p

4

，故圓心到準線的距離為

p

2

+

p

4

=

3

2

，解得p=2，即拋物線C的方程為x²=4y．
（II）由題意知過點P的圓x²+（y-1）²=1的切線的斜率存在，設切線方程為y-y₀=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+y₀=0．
則點F（0，1）到直線的距離d=

|y0-kx-1|

k2+1

．令d=1，則

|y0-kx0-1|

k2+1

=1，
整理得(

x

2 0

-1)k2-2x0(y0-1)k+

y

2 0

-2y0=0．
設兩條切線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，則k1+k2=

2x0(y0-1)

x 2 0 -1

，k1k2=

y 2 0 -2y0

x 2 0 -1

，
且直線PM：y-y₀=k₁（x-x₀），直線PN：y-y₀=k₂（x-x₀），故M(x0-

y0

k1

，0)，N(x0-

y0

k2

，0)．
因此|MN|=|

y0

k2

-

y0

k1

|=y0|

k1-k2

k1k2

|=y0

(k1+k2)2-4k1k2 k1k2

=

8y0+4 y 2 0 (y0-2)2

．
所以S△PMN=

1

2

|MN|y0=

y 2 0 (2y0+ y 2 0 ) (y0-2)2

．
設f(t)=

t2(2t+t2)

(t-2)2

（t＞2），則f′(t)=

2t2(t2-3t-6)

(t-2)3

，
令t²-3t-6=0，則t=

3- 33

2

（舍），或t=

3+ 33

2

．
當t∈(2，

3+ 33

2

)時，f′（t）＜0，f（t）在(2，

3+ 33

2

)上單點遞減，
當t∈(

3+ 33

2

，+∞)時，f′（t）＞0，f（t）在(

3+ 33

2

，+∞)上單調遞增，
因此fmin(t)=f(

3+ 33

2

)=

( 3+ 33 2 )2[2× 3+ 33 2 +( 3+ 33 2 )2]

( 3+ 33 2 -2)2

=

(36+4 33 )2

642

(54+10

33

)．
所以△PMN面積的最小值為

(36+4 33 )2 642 (54+10 33 )

=

9+ 33

16

54+10 33

．
此時y0=

3+ 33

2

．

點評：本題考查了拋物線的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了方程思想和函數思想，訓練了利用導數求函數的最值，訓練了學生的計算能力，繁雜的運算量會使學生對該題失去信心．此題屬難題．