Question

已知橢圓C₁：，拋物線C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點．
（Ⅰ）當AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使拋物線C₂的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知當AB⊥x軸時，直線AB的方程為：x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，-）．因為點A在拋物線上．
所以，即．此時C₂的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上．
（II）解法一：假設存在m、p的值使C₂的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設直線AB的方程為y=k（x-1）．由消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由根與系數的關系可推導出求出符合條件的m、p的值．
解法二：設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂y₂）．因為AB既過C₁的右焦點F（1，0），又過C₂的焦點，所以． 由（Ⅰ）知x₁≠x₂，p≠2，于是直線AB的斜率．且直線AB的方程是．由此入手可求出符合條件的m、p的值．
解答：解：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為：
x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，-）．
因為點A在拋物線上．
所以，即．
此時C₂的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上．
（II）解法一：假設存在m、p的值使C₂的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB
的斜率存在，故可設直線AB的方程為y=k（x-1）．
由消去y得（3+4k²）x²-8k⁴x+4k²-12=0①
設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=．
由
消去y得（kx-k-m）²=2px．②
因為C₂的焦點在直線y=k（x-1）上，
所以，即．代入②有．
即．=3 ③
由于x₁，x₂也是方程=3 ③的兩根，
所以x₁+x₂=．
從而=．
解得=4 ④

又AB過C₁…C₂的焦點，
所以，
則．=5 ⑤

由=4 ④、=5 ⑤式得，即k⁴-5k²-6=0．
解得k²=6．于是．
因為C₂的焦點在直線上，
所以．
∴或．
由上知，滿足條件的m、p存在，且或，．
解法二：設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂y₂）．
因為AB既過C₁的右焦點F（1，0），又過C₂的焦點，
所以．
即． ①
由（Ⅰ）知x₁≠x₂，p≠2，于是直線AB的斜率，②
且直線AB的方程是，
所以．③
又因為，
所以．④
將①、②、③代入④得．=5 ⑤
因為，
所以．=6 ⑥
將②、③代入=6 ⑥得．=7 ⑦
由=5 ⑤、=7 ⑦得=．
即3p²+20p-32=0
解得．
將代入=5 ⑤得，
∴或．
由上知，滿足條件的m、p存在，
且或，
點評：本題考查直線和圓錐軸線的位置關系和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．