Question

空間一條直線l₁與一個正四棱柱的各個面所成的角都為α，則另一條直線l₂與這個正四棱柱的各條棱所成的角都為β，則下列說法正確的是

②③

．
①此四棱柱必為正方體；
②l₁與四棱柱的各邊所成的角也相等；
③若四棱柱為正四棱柱，l₁與這個正四棱柱的各條棱所成的角都為β，則sin²α+sin²β=1．

Answer 1

分析：一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為α，可以在正四棱柱中截取一個正方體，直線l₁可以是此正方體的體對角線BH，直線l₁與這個正四棱柱的各條棱所成的角也相等，最后求出體對角線與面或棱所成的角的正弦即可進行判斷．

解答：解：不妨在正四棱柱中截取一個正方體ABCD-EFGH，如圖．
空間一條直線l₁與此正四棱柱的各個面所成的角都為α，直線l₁可以是此正方體的體對角線BH，直線l₁與這個正四棱柱的各條棱所成的角也相等，故②正確；
但是此正四棱柱未必為正方體，故①不正確；
在圖中，∠HBE=α，∠HBA=β，
且sin²α+sin²β=

EH2

BH2

+

AH2

BH2

=

EH2

BH2

+

BE2

BH2

=

EH2+BE2

BH2

=

BH2

BH2

=1，故③正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查了直線與平面所成角的定義以及正四棱柱的概念，充分考查了轉化思想的應用．