Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax，g（x）=x，h（x）=a^x．
（1）若a=2，設(shè)m（x）=h（x）-g（x），n（x）=g（x）-f（x），當(dāng)x＞1時(shí)，試比較m（x）與n（x）的大小（只需要寫出結(jié)果，不必證明）；
（2）若a=

1

2

，設(shè)P是函數(shù)g（x）圖象在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線
與函數(shù)h（x）和f（x）的圖象分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線與函數(shù)h（x）和f（x）的圖象分別交于C、D兩點(diǎn)，求證：|AB|=|CD|．

Answer 1

分析：（1）大小關(guān)系：m（x）＞n（x）．
（2）設(shè)P（t，t），（t＞0），分別求出A、B、C、D坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式計(jì)算證明．

解答：解：（1）大小關(guān)系：m（x）＞n（x）
（2）由點(diǎn)P在直線g（x）=x上，設(shè)P（t，t），（t＞0）
由t=(

1

2

)x，得x=-log₂t，∴A（-log₂t，t），
由t=log

1

2

x，得x=(

1

2

)t，B((

1

2

)t，t)．∴|AB|=|(

1

2

)t+log2t|．…（5分）
∵C(t，(

1

2

)t)，D（t，-log₂t），∴|CD|=|(

1

2

)t+log2t|．
∴|AB|=|CD|．…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查了圖象交點(diǎn)，距離公式的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．