Question

當a取怎樣的值時，拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有且只有兩個公共點．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是拋物線與圓的綜合性質，由由于拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有公共的對稱軸x軸故如果拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有且只有兩個公共點．則這兩個點的橫坐標相等且大于0，聯立兩條曲線的方程組成方程組，然后利用韋達定理，即可給出答案．

解答：解：由于拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有公共的對稱軸x軸
故如果拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有且只有兩個公共點．
則這兩個點的橫坐標相等且大于0
即聯立方程

y2=2x (x-a)2+y2=4

得：（x-a）²+2x=4有且只有一個正根時，滿足條件
∵△=20-8a
∴當△=0，此時a=

5

2

，x=

3

2

，滿足要求
當△＞0，a＜

5

2

，此時a²-4＜0
解得2＜a＜

5

2

綜上，滿足條件的a的取值范圍為：2＜a≤

5

2

點評：曲線與曲線交點的個數一般可以由聯系曲線方程得到的方程組解的個數來決定，但要注意，如果像本題一樣，交點是對稱的，我們要根據曲線的性質，進行分析后，才能進一步求解．