Question

已知向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(2cosβ，2sinβ)，

c

=(sinα+2sinβ，cosα+2cosβ)（0＜α＜β＜π），

a

與

b

的夾角為

π

3

，
（1）求β-α的值；
（2）若

a

⊥

c

，求tan2α的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用數量積以及兩角差的余弦函數，求出cos(α-β)=

1

2

，判斷角的范圍即可求β-α的值；
（2）通過

a

⊥

c

，利用數量積為0，通過兩角和的正弦函數以及二倍角公式，結合β-α=

π

3

，即可求tan2α的值．

解答：解：（1）由

a

與

b

的夾角為

π

3

，得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1

2

，
即

1

2

=

2cosαcosβ+2sinαsinβ

1×2

…（2分）∴cos(α-β)=

1

2

…（4分）
又0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，∴β-α=

π

3

．…（6分）
（2）由

a

⊥

c

，得

a

•

c

=0，∴cosα（sinα+2sinβ）+sinα（cosα+2cosβ）=0…（8分）
即sin2α+2sin（α+β）=0，∵β=

π

3

+α，∴sin2α+2sin(

π

3

+2α)=0，
∴2sin2α+

3

cos2α=0，…（12分）
∴tan2α=-

3

2

．…（14分）

點評：本題通過向量的數量積為載體，考查兩角和與差的三角函數，二倍角公式的應用，考查計算能力，邏輯推理能力．