Question

（2012•山東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于（2，1）時(shí)，

OP

的坐標(biāo)為

（2-sin2，1-cos2）

．

Answer 1

分析：設(shè)滾動(dòng)后圓的圓心為O'，切點(diǎn)為A，連接O'P．過(guò)O'作與x軸正方向平行的射線，交圓O'于B（3，1），設(shè)∠BO'P=θ，則根據(jù)圓的參數(shù)方程，得P的坐標(biāo)為（2+cosθ，1+sinθ），再根據(jù)圓的圓心從（0，1）滾動(dòng)到（2，1），算出θ=

3π

2

-2，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)可得P的坐標(biāo)為（2-sin2，1-cos2），即為向量

OP

的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)滾動(dòng)后的圓的圓心為O'，切點(diǎn)為A（2，0），連接O'P，
過(guò)O'作與x軸正方向平行的射線，交圓O'于B（3，1），設(shè)∠BO'P=θ
∵⊙O'的方程為（x-2）²+（y-1）²=1，
∴根據(jù)圓的參數(shù)方程，得P的坐標(biāo)為（2+cosθ，1+sinθ），
∵單位圓的圓心的初始位置在（0，1），圓滾動(dòng)到圓心位于（2，1）
∴∠AO'P=2，可得θ=

3π

2

-2
可得cosθ=cos（

3π

2

-2）=-sin2，sinθ=sin（

3π

2

-2）=-cos2，
代入上面所得的式子，得到P的坐標(biāo)為（2-sin2，1-cos2）
∴

OP

的坐標(biāo)為（2-sin2，1-cos2）．
故答案為：（2-sin2，1-cos2）

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)半徑為1的圓的滾動(dòng)，求一個(gè)向量的坐標(biāo)，著重考查了圓的參數(shù)方程和平面向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．