Question

（本小題滿分15分）

已知：在數列{a_n}中，a₁＝ ，a_n+1＝ a_n＋．

（1）令b_n＝4n a_n，求證：數列{b_n}是等差數列；

（2）若S_n為數列{a_n}的前n項的和，S_n＋λna_n≥ 對任意n∈N*恒成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

解：（1）

由a_n+1＝a_n＋，

得(4n+1) a_n+1＝4na_n＋2．  ………………………………………………………………1分

所以b_n+1＝b_n＋2，

即b_n+1－b_n＝2．…………………………………………………………………3分

故數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列．………………………………4分

（2）因為數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，所以b_n＝1＋2（n－1）＝2n－1．

因為b_n＝4n a_n，所以 a_n＝． ……………………………………………………6分

則S_n＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ．

又S_n＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ．

所以S_n＝＋2（ ＋ ＋ ＋…＋ ）－

                                           …………………………8分

＝＋2× －．

所以S_n＝ － × － × ．  …………………………10分

因為S_n＋λ_na_n≥對任意n∈N*恒成立，

所以 －× －×＋λ×≥對任意n∈N*恒成立．

即λ≥×＋對任意n∈N*恒成立．………………………………11分

因為n≥1，2n－1≥1，所以×≤，當且僅當n＝1時取等號．

又因為 ≤ ，當且僅當n＝1時取等號．

所以×＋≤ ，當且僅當n＝1時取等號．………………………14分

所以λ≥，所以λ的最小值為．…………………………………15分