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已知函數f(x)對任意的實數x，y，都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y)，且f(1)=1，求f(x)的解析式。
解：∵f(x+y)=f(x)+2y(x+y)對任意x，y∈R都成立，
可令x=0，y=1得f(1)=f(0)+2×1×(0+1)，
又f(1)=1，解得f(0)=-1，
再令x=0，y=x，
得f(x)=f(0)+2x(0+x)=-1+2x2，
即f(x)=2x2-1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數學 來源：北京市海淀區2012屆高三下學期期中練習數學文科試題 題型：022

已知函數f(x)＝則f(f(x))＝________；

下面三個命題中，所有真命題的序號是________．

①函數f(x)是偶函數；

②任取一個不為零的有理數T，f(x＋T)＝f(x)對x∈R恒成立；

③存在三個點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))使得△ABC為等邊三角形．

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科目：高中數學 來源：2010年普通高等學校招生全國統一考試、理科數學(上海卷) 題型：044

若實數x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠離m．

(1)若x2－1比1遠離0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠離2ab；

(3)已知函數f(x)的定義域．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值.寫出函數f(x)的解析式，并指出它的基本性質(結論不要求證明)．

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科目：高中數學 來源：2010年全國普通高等學校招生統一考試、文科數學(上海卷) 題型：044

若實數x、y、m滿足|x－m|＜|y－m|，則稱x比y接近m．

(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；

(3)已知函數f(x)的定義域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那個值．寫出函數f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性(結論不要求證明)．

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科目：高中數學 來源：上海高考真題 題型：解答題

若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m，
(Ⅰ)若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
(Ⅱ)對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab；
(Ⅲ)已知函數f(x)的定義域D={x|x≠，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數f(x)的解析式，并指出它的基本性質(結論不要求證明)．

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