Question

【題目】對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若任給，均有，則稱函數(shù)在區(qū)間上是封閉.

（1）試判斷在區(qū)間上是否封閉，并說明理由；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上封閉，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）不封閉，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）求出二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，結(jié)合題中定義判斷即可；

（2）將函數(shù)的解析式變形為，分類討論的取值，求得函數(shù)在區(qū)間上的值域，轉(zhuǎn)化為函數(shù)區(qū)間上的值域?yàn)?/span>的子集，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，

，因此，函數(shù)在區(qū)間上不封閉；

（2）.

①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上封閉；

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則當(dāng)時(shí)，，則，

所以，，解得；

③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則當(dāng)時(shí)，，則，

所以，，解得.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.