Question

當x∈[-1，1]時不等式ax+1＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

（-1，1）

．

Answer 1

分析：x∈[-1，1]時不等式ax+1＞0恒成立，即ax＞-1恒成立．所以x∈[-1，1]時，ax的最小值大于-1．由此進行分類討論，能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵x∈[-1，1]時不等式ax+1＞0恒成立，即ax＞-1恒成立．
∴x∈[-1，1]時，ax的最小值大于-1．
∵x∈[-1，1]，
∴①當a=0時，（ax）_min=0＞-1成立，∴a=0；
②當a＞0時，在x=-1時，（ax）_min=-a＞-1，∴0＜a＜1；
③當a＜0時，在x=1時，（ax）_min=a＞-1，∴-1＜a＜0．
綜上所述：-1＜a＜1．
故實數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．
故答案為：（-1，1）．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題的應用，解題時要認真審題，注意不等式的性質(zhì)的靈活運用．