Question

已知a＞0，將函數f（x）=

1

2

ax²-a的圖象向右平移

1

a

個單位再向下平移

1

2a

個單位后得到函數g（x）的圖象．
（Ⅰ）求函數g（x）的表達式；
（Ⅱ）當a=

1

2

時，求g（x）在區間[-4，3]上的最大值與最小值；
（Ⅲ）若函數g（x）在[

2

，2]上的最小值為h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若將函數f（x）=

1

2

ax²-a的圖象向右平移

1

a

個單位再向下平移

1

2a

個單位后得到函數g（x）的圖象，則先x減

1

a

，再整個解析式減

1

2a

，就得到函數g（x）的表達式．
（Ⅱ）當a=

1

2

時，函數g（x）是一個以x=2為對稱軸，開口向上的二次函數，由二次函數的圖象和性質即可求得其在區間[-4，3]上的最大值與最小值；
（Ⅲ）由于函數g（x）是以x=

1

a

為對稱軸，開口向上的二次函數，定義域為[

2

，2]，故需要討論對稱軸與定義域區間的位置關系，才能確定函數的最小值，由此列出分段函數h（a），最后求這個分段函數的最大值即可

解答：解：（Ⅰ）將函數f（x）=

1

2

ax²-a的圖象向右平移

1

a

個單位得到函數y=

1

2

a（x-

1

a

^）2-a的圖象，
再向下平移

1

2a

個單位后得到函數y=

1

2

a（x-

1

a

）²-a-

1

2a

 的圖象． 
∴函數y=g（x）的表達式為g（x）=

1

2

a（x-

1

a

）²-a-

1

2a

             
（Ⅱ）當a=

1

2

時，g（x）=

1

4

（x-2）²-

3

2

 
∴函數g（x）是一個以x=2為對稱軸，開口向上的二次函數                           
∵x∈[-4，3]，
∴當x=2時，g（x）_min=-

3

2

                     
當x=-4時，g（x）_max=

15

2

                                       
（Ⅲ）函數g（x）的對稱軸為x=

1

a

＞0，開口向上，
①當0＜

1

a

＜

2

，即a＞

2

2

時，函數g（x）在[

2

，2]上為增函數，
∴h（a）=g（

2

）=

1

2

a×（

2

-

1

a

）²-a-

1

2a

=-

2

                                            
②當

2

≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤

2

2

時，
h（a）=g（

1

a

）=

1

2

a×（

1

a

-

1

a

）²-a-

1

2a

=-a-

1

2a

．              
③當

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

時，函數g（x）在[

2

，2]上為減函數，
∴h（a）=g（2）=

1

2

a×（2-

1

a

）²-a-

1

2a

=a-2                            
綜上可知，h（a）=

- 2 ，    a＞ 2 2 -a- 1 2a ，   1 2 ≤a≤ 2 2 a-2，          0＜a＜ 1 2

∵

1

2

≤a≤

2

2

時，h（a）=-a-

1

2a

=-（a+

1

2a

）≤-2

a× 1 2a

=-

2

∴當a=

2

2

時，h（x）_max=-

2

∵0＜a＜

1

2

時，h（a）=a-2＜

1

2

-2=-

3

2

＜-

2

∴當a≥

2

2

時，函數h（a）的最大值為-

2

點評：本題考察了函數圖象的變換，二次函數的圖象和性質，求二次函數在閉區間上的最值方法，分段函數的性質，分類討論的思想方法