Question

已知函數f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）當a=4，2≤x≤5，求函數f（x）的最大值與最小值；
（2）若x≥a，試求f（x）+3＞0的解集；
（3）當x∈[1，2]時，f（x）≤2x-2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）含絕對值的函數可先討論去掉絕對值，分別求出每段上的最值，后比較出最大值以及最小值．
（2）當x≥a時，可去掉絕對值，通過討論比較兩個根的大小，求出不等式的解集
（3）對于恒成立求參數的問題我們常常將參數進行分離，然后研究在x∈[1，2]上的最大值，在x∈[1，2]上的最小值．
解答：解：（1）當a=4時，f（x）=x|x-4|+2x-3，
①2≤x＜4時，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）²+6，
當x=2時，f（x）_min=5；當x=3時，f（x）_max=6（2分）
②當4≤x≤5時，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）²-4，
當x=4時，f（x）_min=5；當x=5時，f（x）_max=12
綜上所述，當x=2或4時，f（x）_min=5；
當x=5時，f（x）_max=12（4分）
（2）若x≥a，f（x）+3=x[x-（a-2）]，（6分）
當a＞2時，x＞a-2，或x＜0，因為a＞a-2，所以x≥a；
當a=2時，得x≠0，所以x≥a；
當a＜2時，x＞0，或x＜a-2，①若0＜a＜2，
則x≥a；②若a≤0，則x＞0
綜上可知：當a＞0時，所求不等式的解集為[a，+∞）；（10分）
當a≤0時，所求不等式的解集為（0，+∞）（12分）
（3）當x∈[1，2]時，f（x）≤2x-2
即x•|x-a|≤1?（14分）
因為在x∈[1，2]上增，最大值是，
在x∈[1，2]上增，最小值是2，故只需．故實數a的取值范圍是．
點評：本題綜合考查了絕對值函數的有關性質，以及恒成立求參數問題．