Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明PA∥平面EDB；
（2）求EB與底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC、AC交BD于O．連接EO，因底面ABCD是正方形則點O是AC的中點，根據EO是中位線則PA∥EO，而EO?平面EDB且PA?平面EDB，根據線面平行的判定定理可知PA∥平面EDB．
（2）作EF⊥DC交CD于F．連接BF，設正方形ABCD的邊長為a．根據PD⊥底面ABCD則PD⊥DC，從而EF∥PD，F為DC的中點則EF⊥底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內的射影，根據線面所成角的定義可知∠EBF為直線EB與底面ABCD所成的角，在Rt△BCF中，求出BF，EF，在Rt△EFB中求出此角的正切值即可．
解答：（1）證明：連接AC、AC交BD于O．連接EO
∵底面ABCD是正方形∴點O是AC的中點．
在△PAC中，EO是中位線∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，所以，PA∥平面EDB．
（2）解：作EF⊥DC交CD于F．連接BF，設正方形ABCD的邊長為a．
∵PD⊥底面ABCD∴PD⊥DC∴EF∥PD，F為DC的中點
∴EF⊥底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內的射影，故∠EBF為直線EB與底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，
∵∴在Rt△EFB中
所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為
點評：本題考查直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力．