Question

下圖展示了一個由區間（0，1）到實數集R的映射過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3，圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0）則m的象就是n，記作f（m）=n．
則下列說法中正確命題的序號是

 

．（填出所有正確命題的序號）
①f(

1

2

)=0； ②f（x）是偶函數；  ③f（x）在定義域上單調遞增；
④f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱．

Answer 1

分析：由題中對映射運算描述，對四個命題逐一判斷其真偽，
①m=

1

2

此時M恰好處在與A相對的y軸上，易得N與O重合，
②可由偶函數的定義域關于原點對稱來確定正誤，
③可由圖3，由M的運動規律觀察出函數值的變化，得出單調性，
④可由圖3中圓關于Y軸的對稱判斷出正誤

解答：解：由題意①是正確命題，因為當m=

1

2

此時M恰好處在與A相對的y軸上，此時N與O重合，故有f（m）=0，即f(

1

2

)=0；
②是錯誤命題，由函數是偶函數，其定義域必關于原點對稱，而m∈（0，1），不是偶函數；
③是正確命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增是正確的；
④是正確命題，由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于Y軸對稱，即此時函數值互為相反數，故可知f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱
綜上知，①③④是正確命題，
故答案為：①③④．

點評：本題考查映射的概念，解答本題關鍵是理解題設中所給的對應關系，正確認識三個圖象的意義，由此對四個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數于形，是一個考查理解能力的題，對題設中所給的關系進行探究，方可得出正確答案，本題易因為理解不了題意而導致無法下手，較抽象，難．