Question

已知，當mn取得最小值時，直線與曲線交點個數為________．

Answer 1

2
分析：由均值不等式1=，當且僅當時等號成立，所以m=2，n=4．故．①當x＞0，y＞0，表示的橢圓；②當x＞0，y＜0，表示以x軸為實軸的雙曲線；③當x＜0，y＞0，表示以y軸為實軸的雙曲線；④當x＜0，y＜0，表示，因為左邊恒≤0所以不可能=右邊，所以此時無解．作出圖象能得到結果．
解答：解：由均值不等式
1=，
當且僅當時等號成立，
也就是，
所以m=2，n=4．
∵，
∴．
①當x＞0，y＞0，
表示的橢圓；
②當x＞0，y＜0，
表示以x軸為實軸的雙曲線；
③當x＜0，y＞0，
表示以y軸為實軸的雙曲線；
④當x＜0，y＜0，
表示，
因為左邊恒≤0所以不可能=右邊，
所以此時無解．
所以如圖得到圖象，
結合圖象知直線與曲線交點個數是2個．
故答案為：2．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，解題時要注意均值定理和分類討論思想、數形結合思想的合理運用．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，常因分類不清易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．