Question

將一塊圓心角為半徑為a的扇形鐵片截成一塊矩形，如圖，有兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上（圖1）或讓矩形一邊與弦AB平行（圖2）
（1）在圖1中，設矩形一邊PM的長為x，試把矩形PQRM的面積表示成關于x的函數；
（2）在圖2中，設∠AOM=θ，試把矩形PQRM的面積表示成關于θ的函數；
（3）已知按圖1的方案截得的矩形面積最大為，那么請問哪種裁法能得到最大面積的矩形？說明理由．

Answer 1

解：（1）PM=QR=x，在Rt△QRO中，OR=
在Rt△PMO中，OM=，∴RM=OM-OR=
∴，
（2）∠MRA=×=，∠MRO=，
在△OMR中，由正弦定理，得：=，即RM=2a•sinθ，
又=，∴OR=2a•sin（-θ），
又正△ORQ中，QR=OR=2a•sin（-θ）
∴矩形的MPQR的面積為S=MR•PQ=4a²•sinθ•sin（-θ）  
（3）對于（2）中的函數=
當，即時，
∵，故按圖1的方案能得到最大面積的矩形．
分析：（1）求出PM，RM的值，利用面積公式可得結論；
（2）利用正弦定理求RM，OR，再利用面積公式可得結論；
（3）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數求最值，即可得到結論．
點評：本題考查函數模型的建立，考查正弦定理的運用，考查三角函數的化簡，考查學生的計算能力，屬于中檔題．