Question

某公司生產2010年上海世博會的科技紀念品，已知生產x（x∈N^*）萬件紀念品的收入函數為R(x)=

8 x   (0＜ x＜9) -x2+16x-39  (9 ≤ x≤ 15).

（單位：萬元），其成本由固定成本和可變成本兩部分構成，其中固定成本為5萬元，可變成本與生產的紀念品的件數x成正比，又知該公司生產10萬件產品時，花費的可變成本為20萬元．（利潤=收入-成本）
（1）求利潤函數P（x）；
（2）當生產多少萬件紀念品時，該公司能夠取得最大利潤？并求出最大利潤．

Answer 1

分析：（1）先求出公司的成本函數C（x），然后潤函數P（x）=R（x）-C（x）分段進行求解即可；
（2）分段分別求出函數的最大值，由利潤函數是二次函數或可轉化成二次函數，可以利用二次函數的性質求出函數取最大值時對應的自變量x的值．

解答：解：（1）設該公司生產紀念品的可變成本為S（x）由題意可設 S（x）=kx（k＞0）
又知該公司生產10萬件產品時，花費的可變成本為20萬元
所以  20=10k得 k=2
由其固定成本為5萬元，得
該公司的成本函數C（x）=2x+5…（3分）
因為收入函數為R(x)=

8 x   (0＜ x＜9) -x2+16x-39  (9 ≤ x≤ 15).

所以，當0＜x＜9時，利潤函數P（x）=R（x）-C（x）=8

x

-(2x+5)=-2x+8

x

-5
當9≤x≤15時，利潤函數P（x）=R（x）-C（x）=（-x²+16x-39）-（2x+5）=-x²+14x-44
所以該公司生產紀念品的利潤函數為P(x)=

-2x+8 x -5  (0＜ x＜9，x∈N*) -x2+14x-44  (9 ≤ x≤ 15，x∈N*).

…（8分）
（2）當0＜x＜9時，P(x)=-2x+8

x

-5=-2(

x

-2)2+3
因為0＜x＜9，x∈N^*
所以，當

x

=2即x=4時，P（x）的最大值為3萬元；…（11分）
當9≤x≤15時，P（x）=-x²+14x-44=-（x-7）²+5在區間[9，15]為減函數，
當x=9時，P（x）=1…（14分）
所以，當9≤x≤15時，P（x）最大值為1萬元．
答：當x=4萬件時，利潤的最大值為3萬元．…（16分）

點評：本題在正確理解利潤函數的基礎上，運用二次函數的性質，解決實際應用問題，解題的關鍵是分段函數需分段求，屬于基礎題．