Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間并比較f（x）與f（1）的大小關(guān)系
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得單調(diào)區(qū)間，根據(jù)最值情況可比較f（x）與f（1）的大小關(guān)系；
（2）由函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，可求出a值，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）在區(qū)間（t，3）上總不單調(diào)，則g（x）在區(qū)間（t，3）內(nèi)總存在極值點(diǎn)，由此可得到關(guān)于m的約束條件，解出即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f′(x)=

(x-1)

x

(x＞0)，
解f'（x）＞0，得x∈（1，+∞）；解f'（x）＜0得x∈（0，1），
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
可知f（x）_min=f（1），所以f（x）≥f（1）．
（2）∵f′(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)，函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
∴f′(2)=-

a

2

=1，得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2，∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
由題意知：對(duì)于任意的t∈[1，2]，g'（t）＜0恒成立，
所以有，

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解得-

37

3

＜m＜-9．
故m的取值范圍為（-

37

3

，-9）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力．