Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

1

2

x，sin

1

2

x)，x∈[0，π]．
（1）當x=

π

4

時，求

a

•

b

及|

a

+

b

|的值；
（2）求f(x)=m|

a

+

b

|-

a

•

b

（m∈R）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出

a

•

b

及|

a

+

b

|的三角表達式，利用三角恒等變換公式化簡后再代入x=

π

4

求得兩向量的內積與兩向量和的模的值；
（2）由題設條件f(x)=m|

a

+

b

|-

a

•

b

=-2cos2

x

2

+2mcos

x

2

-1，此式是關于cos

x

2

的二次函數，故可令t=cos

x

2

（0≤t≤1），換元，再由二次函數的知識求最值

解答：解：（1）∵

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

1

2

x，sin

1

2

x)
∴

a

•

b

=cos

3

2

xcos

1

2

x+sin

3

2

xsin

1

2

x=cos(

3

2

x-

1

2

x)=cosx
∴x=

π

4

時，

a

•

b

=

2

2

，
又|

a

+

b

|2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=2+2cosx
∴x=

π

4

時，|

a

+

b

|=

2+ 2

（2）∵x∈[0，π]，∴0≤cos

x

2

≤1
∴f(x)=m|

a

+

b

|-

a

•

b

=2m|cos

x

2

|-cosx=-2cos2

x

2

+2mcos

x

2

-1
令t=cos

x

2

（0≤t≤1）則f（x）=-2t²+2mt-1=-2(t-

m

2

)2+

m2

2

-1
∴當

m

2

＞1即m＞2時，此時t=1，f（x）_max=2m-3
當0≤

m

2

≤1即0≤m≤2時，此時t=

m

2

，f(x)max=

m2

2

-1
當

m

2

＜0即m＜0時，此時t=0，f（x）_max=-1
∴f(x)max=

2m-3(m＞2) m2 2 -1(0≤m≤2) -1(m＜0)

點評：本題考查平面向量數量積的運算，解題的關鍵是熟練掌握數量積的運算公式，以及三角恒等變換公式，本題是一個三角與向量結合的綜合題，其解題的特點是變形靈活，考查靈活變形進行計算的能力