Question

（12分）二次函數f(x)=ax²+x+1(a＞0)的圖象與x軸的兩個不同的交點的橫坐標分別為x₁、x₂。
（1）證明：(1+x₁)(1+x₂)=1；
（2）證明：x₁＜－1，x₂＜－1；
（3）若函數y=xf(x)在區間（－，－4）上單調遞增，試求a的取值范圍。

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

（1）由題意知x₁，x₂是一元二次方和ax²+x+1=0的兩個實根，所以x₁+x₂=－，x₁x₂=
x₁+x₂=－x₁x₂，所以（1+x₁）（1+x₂）=1
（2）由方程ax²+x+1=0(a＞0)的判別式=1－4a＞0，解得0＜a＜.
所以y=ax²+x+1=0(a＞0)的圖象的對稱軸
x=－，且f(－1)=a＞0
所以二次函數y=ax²+x+1(a＞0)的圖象與x軸兩個交點都在－1點的左側，
即x₁＜－1，x₂＜－1
（3）設g(x)=xf(x)=ax³+x²+x(0＜a＜)，
∴g’(x)=3ax²+2x+1＞0對x(－，－4)恒成立，
∴3a＞=－()²+1
又當x（－，－4）時，－()²+1＜ 
∴a≥，∴