Question

已知

a

，

b

，

c

是一個平面內的三個向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，

c

∥

a

，求

c

及

a

•

c

．
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

與3

a

-

b

垂直，求

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）由向量

a

與

c

共線，把

c

用

a

的坐標和λ表示，然后由|

c

|=2

5

列式計算λ的值，則向量

c

的坐標可求，代入數量積的坐標表示可得答案；
（2）由

a

+2

b

與3

a

-

b

垂直得其數量積為0，展開后代入已知的模，則可求得

a

•

b

=-

5

2

．代入夾角公式即可得到答案．

解答：解（1）∵

c

∥

a

，

a

=(1，2)，設

c

=λ

a

=(λ，2λ)．
又∵|

c

|=2

5

，∴
λ²+4λ²=20，解得λ=±2．
當

c

、

a

同向時，

c

=(2，4)，此時

a

•

c

=1×2+2×4=10．
當

c

、

a

反向時，

c

=(-2，-4)，此時

a

•

c

=1×(-2)+2×(-4)=-10；
（2）∵(

a

+2

b

)•(3

a

+

b

)=0，
∴3

a

2+5

a

•

b

-2

b

2=0．
又|

a

|=

5

，|

b

|=

5

2

，所以3×5+5

a

•

b

-2×

5

4

=0
即

a

•

b

=-

5

2

．
設

a

與

b

的夾角為θ，則cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

- 5 2

5 • 5 2

=-1
∴θ=180°．
所以

a

與

b

的夾角為180°．

點評：本題考查了數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了向量的夾角及其求法，是中檔題．