Question

7．已知圓A：（x+2）²+y²=1，A（-2，0），B（2，0），分別求出滿足下列條件的動點P的軌跡方程．
（1）△PAB的周長為10；
（2）圓P過B（2，0）且與圓A外切（P為動圓圓心）．

Answer 1

分析 （1）推導出P點的軌跡是橢圓，且2a=6，2c=4，由此能求出P點的軌跡方程．
（2）設動圓P的半徑為r，則|PA|=r+1，|PB|=r，從而|PA|-|PB|=1＜4，由雙曲線定義知P點的軌跡是雙曲線的右支，由此能示出P點的軌跡方程．

解答 解：（1）∵|PA|+|PB|+|AB|=10，…（2分）
即|PA|+|PB|=6＞4…（4分）∴P點的軌跡是橢圓，且2a=6，2c=4，…（5分）
即$a=3，c=2，b=\sqrt{5}$，…（6分）
所以P點的軌跡方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1（y≠0）$．…．（7分）
（2）設動圓P的半徑為r，則|PA|=r+1，|PB|=r…．（9分）
因此|PA|-|PB|=1＜4…..（11分）
由雙曲線定義知P點的軌跡是雙曲線的右支，2a=1，2c=4，…．（12分）
即$a=\frac{1}{2}，c=2，b=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，…..（13分）
故P點的軌跡方程為$\frac{x^2}{{\frac{1}{4}}}-\frac{y^2}{{\frac{15}{4}}}=1（x≥\frac{1}{2}）$…（14分）

點評 本題考查動點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、雙曲線的性質的合理運用．