Question

已知向量

PA

=（k，12），

PB

=（4，5），

PC

=（10，k）．
（1）若A，B，C三點共線，求實數(shù)k的值；
（2）若A，B，C構(gòu)成直角三角形，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）若A，B，C三點共線，則

AB

= λ •

BC

，λ 為非零實數(shù)，由 （4-k，-7）=λ（6，k-5），求出k 的值．
（2）分別由

AB

•

BC

=0、

AB

•

AC

=0、

BC

•

AC

=0，解方程求出實數(shù)k的值．

解答：解：（1）若A，B，C三點共線，則

AB

= λ •

BC

，λ 為非零實數(shù)．
即

PB

 -

PA

=λ （

PC

-

PB

 ），∴（4-k，-7）=λ（6，k-5），∴4-k=6λ，-7=λ（k-5），
解得 k=11，或 k=-2．
（2）若A，B，C構(gòu)成直角三角形，由（1）可得

AB

=（4-k，-7），

BC

=（6，k-5），

AC

=

PC

-

PA

=（10-k，k-12）．
當

AB

⊥

BC

 時，由

AB

•

BC

=6（4-k）-7（k-5）=0，可得 k=

59

13

．
當

AB

⊥

AC

時，由

AB

•

AC

=（4-k，-7）（10-k，k-12）=0，可得 k 無解．
當

BC

⊥

AC

時，由

BC

•

AC

=（6，k-5）（10-k，k-12）=0，解得 k=8，或k=15．
綜上，實數(shù)k的值為：

59

13

，8，15．

點評：本題考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量垂直的性質(zhì)，是一道中檔題．