Question

設函數f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為

2π

3

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位長度得到，求y=g（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）先將函數化簡為f（x）=

2

sin（2ωx+

π

4

），再由

2π

2ω

=

2π

3

，可得答案．
（2）根據g（x）=f（x-

π

2

）先求出解析式，再求單調區間．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx+2=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2
依題意得

2π

2ω

=

2π

3

，故ω的值為

3

2

．
（Ⅱ）依題意得：g(x)=

2

sin[3(x-

π

2

)+

π

4

]+2=

2

sin(3x-

5π

4

)+2
由2kπ-

π

2

≤3x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
解得

2

3

kπ+

π

4

≤x≤

2

3

kπ+

7π

12

(k∈Z)
故y=g（x）的單調增區間為：[

2

3

kπ+

π

4

，

2

3

kπ+

7π

12

](k∈Z)．

點評：本題主要考查三角函數最小正周期的求法和單調區間的求法．做這種題首先要將原函數化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式再做題．