Question

已知函數f(x)＝lnx－ax²＋(a－1)x(a＜0)．

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間；

(Ⅱ)記函數y＝F(x)的圖象為曲線C．設點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是曲線C上的不同兩點．如果在曲線C上存在點M(x₀，y₀)，使得：①x₀＝；②曲線C在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數F(x)存在“中值相依切線”．試問：函數f(x)是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)易知函數的定義域是，．1分 　　①當時，即時，令，解得或； 　　令，解得．2分 　　所以，函數在和上單調遞增，在上單調遞減 　　②當時，即時，顯然，函數在上單調遞增；3分 　　③當時，即時，令，解得或； 　　令，解得．4分 　　所以，函數在和上單調遞增，在上單調遞減 　　綜上所述， 　　(1)當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減； 　　(2)當時，函數在上單調遞增； 　　(3)當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減．5分 　　(Ⅱ)假設函數存在“中值相依切線”． 　　設，是曲線上的不同兩點，且， 　　則 　　；7分 　　曲線在點處的切線斜率 　　，8分 　　依題意得：． 　　化簡可得：，即＝．10分 　　設()，上式化為：，即；12分 　　令，． 　　因為，顯然，所以在上遞增，顯然有恒成立． 　　所以在內不存在，使得成立． 　　綜上所述，假設不成立．所以，函數不存在“中值相依切線”．14分